运算放大器电路集合详解（六）：滤波器与采样保持

📖 系列说明：本系列基于德州仪器 AN-31 放大器电路集合。本文为系列第六篇，涵盖采样保持电路（2种）、陷波滤波器（2种）、Sallen-Key 有源滤波器（带通/高通/低通）、电容乘法器（2种）、模拟电感器（回转器）共 10 个电路，详解传递函数推导与频率响应。

6.1 采样保持电路（Sample and Hold）

📐 电路结构

基本 S&H：模拟开关 S1 + 保持电容 Chold + 运放缓冲器。S1 闭合时采样，断开时保持。A1 作为输入缓冲，A2 作为输出缓冲（防止电容被负载放电）。

积分型 S&H：将保持电容放在运放积分器反馈回路中，改善线性度。

🔬 详细原理

采样保持电路是 ADC 前端的核心组件，在采样阶段跟踪输入信号，在保持阶段为 ADC 提供稳定的待转换电压。

工作阶段：

1. 采样阶段（S1 闭合）：Chold 充电至 Vin(t)，充电时间常数 τ = Ron × Chold（典型值 100Ω × 1nF = 100ns）
2. 保持阶段（S1 断开）：Chold 保持断开时刻的电压值，直到下一次采样

📏 核心参数：

• 采集时间：t_acq = τ × ln(2^N)，12 位精度需要约 8.3τ；τ = Ron × Chold
• 保持电压跌落（Droop）：dV/dt = (Ileak + Ibias) / Chold。FET 输入运放 Ibias ~ 1pA，Chold=1nF 时 droop ≈ 1mV/s
• 保持阶跃（Hold Step）：开关断开瞬间栅极电荷注入到 Chold 上，ΔV = Qg_drain / Chold。选用低电荷注入的 CMOS 开关（如 DG403, 10pC）可降至 10mV 以内
• 馈通（Feedthrough）：开关断开时寄生电容 Cds 耦合输入信号，衰减比 = Chold / Cds

电容介质吸收效应：介质吸收（DA）是 S&H 电路精度的核心限制因素。电容充电时偶极子逐渐取向，放电时偶极子缓慢复原，导致保持电压微小漂移。

• 聚四氟乙烯（PTFE/Teflon）：DA < 0.02%，最优秀
• 聚丙烯（PP）：DA ~ 0.05%
• 聚苯乙烯：DA ~ 0.02%，也极好
• C0G/NP0 陶瓷：DA ~ 0.6%，可接受
• X7R 陶瓷：DA ~ 2%，不推荐用于 S&H
• 聚酯膜（Mylar）：DA ~ 0.2%

🔗 举一反三：

• ADC 驱动器：SAR ADC（如 ADS8860, 16 位）内部集成了 S&H，但在高频输入时仍需外部驱动放大器
• 自动调零：S&H + 差分放大器可构成自动调零电路，采样输入短路时的失调电压并从信号中减去
• 模拟存储器：用 S&H 阵列 + 模拟 MUX 构建”模拟 FIFO”，用于电荷耦合器件（CCD）信号处理流水线
• 跟踪保持 vs 采样保持：跟踪保持（Track-and-Hold, T/H）在采样阶段跟随输入，是 S&H 的特例，更适合流水线 ADC

6.2 陷波滤波器（Notch Filter）

📐 双 T 型陷波滤波器

无源双 T 网络 + 运放缓冲器。R1=R2=2R3, C1=C2=C3/2。中心频率处信号通过两条路径到达输出：高通路径（C-C-R）和低通路径（R-R-C），两者相移相反，叠加后抵消。

📏 双 T 陷波公式：

• 陷波中心频率：f₀ = 1/(2πRC)
• Q 值：无源双 T 的 Q ≈ 0.25（陷波较宽）
• 陷波深度：理想匹配时 > 60dB，1% 电阻失配时降至约 40dB

📐 有源陷波滤波器（Bainter Notch）

用三个运放构建的有源陷波滤波器，通带增益和 Q 值可独立调节。

🔬 详细原理

有源陷波滤波器在双 T 网络基础上加入正反馈（自举），将部分输出信号反馈到双 T 网络的”地”端，提高等效 Q 值。

📏 有源陷波参数：

• Q 值可调范围：0.3 ~ 50（远超无源双 T）
• 陷波深度：> 60dB（精密电阻 + 低噪声运放）
• 通带增益：1（单位增益）
• 调节方法：改变反馈电阻比例可调 Q；改变 R 或 C 可调 f₀；两者独立，互不影响

🔗 举一反三：

• 50Hz 工频陷波：医疗心电（ECG）和脑电（EEG）采集中必备，滤除 50Hz/60Hz 电网干扰。R=318kΩ, C=10nF → f₀ ≈ 50Hz
• 音频消除单频噪声：录音中消除空调、风扇等恒定频率噪声
• 失真度测量仪：陷波滤波器滤除基频信号，剩余信号中的总能量即为 THD+N
• 自适应陷波：用开关电容滤波器（如 LTC1064）构建，时钟调谐陷波频率，实现跟踪式陷波

6.3 Sallen-Key 有源滤波器

📐 电路结构

一个运放 + 2~5 个电阻电容构成二阶有源滤波器。运放作为 VCVS（压控电压源），提供增益和低输出阻抗。三种标准拓扑：低通、高通、带通。

🔬 Sallen-Key 低通滤波器

传递函数：

H(s) = K / [s²(R1R2C1C2) + s(R1C1(R2C2+R1C2(1-K)) + 1]，其中 K = 1 + R4/R3

截止频率：f_c = 1/[2π√(R1R2C1C2)]
Q 值：Q = √(R1R2C1C2) / [R1C1 + R2C2(1-K)]

常用设计方案：R1=R2=R, C1=C2=C → f_c = 1/(2πRC), Q = 1/(3-K)。当 K=3 时 Q → ∞（振荡边界）；设置 K<3 获得不同 Q 值：

• K=1（跟随器）：Q=0.5，巴特沃斯响应（最平坦通带）不满足，需 K>1
• K=1.586（R4/R3=0.586）：Q=0.707，巴特沃斯响应（最大平坦度）
• K=1.234（R4/R3=0.234）：Q=0.577，贝塞尔响应（最平坦群延迟）
• K=2（R4/R3=1）：Q=1，轻微振铃
• K=2.234（R4/R3=1.234）：Q=1.3，切比雪夫 1dB（更陡的过渡带）

🔬 Sallen-Key 高通滤波器

将低通中的 R 和 C 互换位置即可得到高通滤波器。截止频率公式相同，Q 值公式类似。

🔬 Sallen-Key 带通滤波器

中心频率：f₀ = 1/(2πRC)（当 C1=C2=C, 适当选 R），Q = 1/(3-K)，带宽 BW = f₀/Q

Sallen-Key 优缺点：

• 优点：设计简单、元件少（单运放）、输出阻抗低、对运放 GBW 要求不高
• 缺点：Q 值和增益不是完全独立（调节增益会影响 Q）、对元件容差敏感（尤其是高 Q 时）、高频时受运放 GBW 限制

🔗 举一反三：

• MFB vs Sallen-Key：多路反馈（MFB）滤波器在高 Q 值时对元件容差的敏感度低于 Sallen-Key，适合 Q > 10 的应用
• 反混叠滤波器：ADC 前端必备，滤除高于奈奎斯特频率（fs/2）的噪声防止混叠，通常用多阶 Sallen-Key 级联达到 80dB/dec 以上的衰减
• 音频分频器：有源分频（电子分频）优于无源 LC 分频，用 Sallen-Key HPF 和 LPF 分别驱动高音和低音功放
• 抗 EMI 滤波：传感器前端加一级 Sallen-Key LPF 滤除射频干扰（RFI）后再进入放大器

6.4 电容乘法器（Capacitance Multiplier）

📐 电路结构

一个运放 + 一个小电容 C + 两个电阻实现”放大”等效电容值的效果。运放反相端接 R1-R2 分压器，输出反馈到 C 的一端（自举）。

🔬 详细原理

电容乘法器的本质是米勒效应的逆用。米勒效应使跨接在放大器输入输出间的电容被放大（1+Av）倍。电容乘法器将一个小电容”自举”出大电容的效果。

📏 核心公式：等效电容 Ceq = C × (1 + R2/R1)

例如：C=100nF, R2/R1=99 → Ceq = 100nF × 100 = 10μF。用 100nF 的薄膜电容实现了 10μF 的等效电容，同时保持了薄膜电容的优良特性（低 ESR、低漏电、低温漂）。

电路优势：

• 用小体积电容实现大电容值（节省 PCB 面积和成本）
• 继承小电容的优良特性：低 ESR、低漏电流、高稳定性
• 避免电解电容的寿命问题和铝电解电容的干涸失效

局限性：运放带宽限制了等效电容的有效频率范围。超过运放的 GBW 后，增益下降，电容倍增效果减弱。等效电容的工作频率通常 ≤ 运放 GBW / (R2/R1)。

🔗 举一反三：

• 电源去耦：用 100nF 薄膜电容 + 乘法器实现 10μF 等效电容，替代铝电解电容，延长产品寿命
• 有源 EMI 滤波器：电容乘法器作为有源 X 电容，实现 Y 电容无法实现的大容值共模滤波
• 低频振荡器：用乘法器实现超大等效电容（如 100μF），构建亚 Hz 级别超低频振荡器，无需庞大的物理电容
• 与电感乘法器组合：电容乘法器 + 模拟电感（回转器）可构建全有源 LC 滤波器，避免任何实际电感

6.5 模拟电感器——回转器（Gyrator）

📐 电路结构

两个运放 + 一个电容 + 四个电阻构成回转器，将电容”回转”成电感。输入端口呈现感性阻抗。

🔬 详细原理

回转器是一个二端口网络，其核心特性是阻抗反转：在端口 2 接一个电容 C，端口 1 看起来就像电感！

📏 核心公式：等效电感 Leq = C × R1 × R2

例如：C=100nF, R1=R2=10kΩ → Leq = 100nF × 100MΩ = 10H！用 100nF 小电容实现了 10 亨利的超大电感。

电感品质因数 Q：理论 Q 值很高（运放增益无穷大），但实际受运放开环增益和输出电阻限制。低频 Q 值主要受运放开环增益限制；高频 Q 值受运放 GBW 限制。典型可实现 Q 值：100~500（音频频段）。

为什么需要模拟电感？

• 物理电感体积大、重量重、价格高
• 大电感需要铁氧体磁芯，有磁饱和、非线性、磁滞问题
• 电感拾取电磁干扰（EMI）
• 模拟电感完全避免了上述所有问题

🔗 举一反三：

• 有源 LC 滤波器：回转器 + 电容构成 RLC 带通/带阻滤波器，Q 值可达 200 以上，用于音频均衡器
• 音频图示均衡器：每个频段的电感用回转器模拟，实现 ±12dB 的精准频段调节
• 阻抗匹配网络：在射频前端用小电容 + 回转器模拟 nH 级小电感（如 π 型匹配网络）
• 与开关电容比较：开关电容滤波器（如 MF10）也可实现电感行为，但有时钟噪声；回转器是连续时间方式，无时钟噪声但功耗稍高